Løsningsforslag

OPPGAVE 13.1

1. Beta-faktoren, β_io, forteller hvor sensitiv aksjekursen er for endringer i oljepris.
2. Avkastningen på selskapet er negativt korrelert med oljeprisen. Hvis oljeprisen går ned, vil avkastningen gå opp.
3. Bruker uttrykk (13.1) for å beregne faktorvolatiliteten:

   $\begin{array}{lll}Var\left(\Delta r_i\right)& =& {\beta }_{im}^2\cdot Var\left(\Delta r_{m,t}\right)+{\beta }_{io}^2\cdot Var\left(\Delta r_{o,t}\right)+2\cdot {\beta }_{i{m}_t}\cdot {\beta }_{io}\cdot Kov\left(\Delta r_{m,t},\Delta r_{o,t}\right)\\ & =& {\mathrm{1,2}}^2\cdot \mathrm{0,09}+{\left(-\mathrm{0,25}\right)}^2\cdot \mathrm{0,05}+2\cdot \mathrm{1,2}\cdot \left(-\mathrm{0,25}\right)\cdot \mathrm{0,0045}\\ & =& \mathrm{0,13}\end{array}$

   $\begin{array}{lll}Std\left(\Delta R_i\right)& =& \sqrt{\mathrm{0,13}}\\ & =& \mathrm{0,36}\left(36\%\right)\end{array}$

OPPGAVE 13.2

Ut fra hva som er gitt i oppgaven, trengs en forutsetning om fordelingsegenskaper. Vi antar at den ukentlige avkastningen er normalfordelt med et standardavvik på 0,01. På 5 % nivå er det verst mulige utfallet:

E(r) – 1,96 · σ(r)

hvor E(r) er forventet avkastning og σ(r) er standardavviket til avkastningen. I oppgaven er ikke forventet avkastning gitt, men på ukebasis kan det forsvares å anta at denne er null.

Minimumsavkastningen tilnærmes da som –1,96 · 0,01 = –1,96 %. På ukebasis er det største forventede tapet 1,96 %.

VaR beregnes da som: $10\text{mill}\text{.}-\left[10\text{mill}\text{.}\cdot \left(1-\mathrm{0,0196}\right)\right]\approx \underset{¯}{200000}$

OPPGAVE 13.3

Porteføljens forventede avkastning på ukebasis:

Standardavvik for porteføljen er σ(r_p) = 0,01225

VaR kan da estimeres hvis porteføljens avkastning antas å være normalfordelt. 95 % konfidensnivå tilsier at det verst mulige utfallet er:

Denne avkastningen vil medføre at verdien av din portefølje er:

10 mill. · (1-0,02251) = 9,7749 mill.

Value at Risk er:

10 mill. – 9,7749 mill. = kr 225 100

OPPGAVE 13.4

1. Beregner først årlig avkastning og standardavvik for porteføljen:

   $\begin{array}{lll}E(r_p)& =& 10\%\\ {\sigma }^2(r_p)& =& w^2\cdot <msup>\; <mi>\sigma </mi>\; <mn>2</mn>\; </msup>(<msub>\; <mi>r</mi>\; <mi>A</mi>\; </msub>)+{(<mn>1</mn>-<mi>w</mi>)}^{<mn>2</mn>}\cdot <msup>\; <mi>\sigma </mi>\; <mn>2</mn>\; </msup>(<msub>\; <mi>r</mi>\; <mi>B</mi>\; </msub>)\\ & =& {(<mn>0,5</mn>)}^{<mn>2</mn>}\cdot {(<mn>0,3</mn>)}^{<mn>2</mn>}+{(<mn>0,5</mn>)}^{<mn>2</mn>}\cdot {(<mn>0,3</mn>)}^{<mn>2</mn>}\\ & =& \mathrm{0,0450}\\ {\sigma }_p& =& \mathrm{0,21}\end{array}$

   Tilnærmet til ukentlige tall:

   E(rp)	= (1/52) · 10 % = 0,001923
   σp	= [(1/52)0,5] · 0.21 = 0,029
   VaR	= –100 000 · [E(rp) – 1,64 · σp]
   	= –100 000 · (0,0019232 – 1,64 · 0,029)
   	= 4 563,68

2. Nei. Grunnen er at forventet avkastning og standardavvik er lik for begge aksjene, og at avkastningene er uavhengige av hverandre.

OPPGAVE 13.5

1.  

   t	Kontantstrøm	NV (Kontantstrøm)	Vekt (w)	w · t
   1	10	9,09	0,786	0,786
   5	4	2,28	0,214	1,070
   		11,57	1,000	1,856

   D = 1,856 år.

   Nødvendig løpetid på nullkuponglånet er dermed 1,856 år fordi varighet og løpetid er like for nullkuponglån.

2. Markedsverdien på nullkuponglånet må være 11,57 mill. kroner, dvs. det samme som markedsverdien av forpliktelsene. Pålydende er 11,57 · (1,10)^1,856 = 13,81 mill. kroner.

OPPGAVE 13.6

1. Varigheten til de rentesensitive eiendelene, D_E, er det verdiveide gjennomsnittet av de fem obligasjonenes varighet (uttrykk (13.2)).

   $\begin{array}{lll}{D}_E& =& {\displaystyle \sum _{i=1}^N{w}_i}\cdot D_i\\ & =& \frac{50846}{274017}\cdot \mathrm{5,20}+\frac{63\text{}867}{274017}\cdot \mathrm{7,55}+\frac{40402}{274017}\cdot \mathrm{5,79}+\frac{48927}{274017}\cdot \mathrm{8,38}+\frac{69975}{274017}\cdot \mathrm{1,88}\\ & =& \mathrm{5,55}\end{array}$

   For at BedriftsBank skal være immunisert mot renteendringer, må gjennomsnittlig varighet for rentesensitive eiendeler (RSE) være lik gjennomsnittlig varighet for rentesensitiv egenkapital og gjeld (RSG):

   RSE · D_E = RSG · D_G.

   Beregninger gir:

   D_E · RSE = 5,55 · 274 017 = 1 520 794

   D_G · RSG = 1,00 · 600 000 = 600 000

   BedriftsBank er derfor ikke immun mot renteendringer.

2. For å bli renteimmunisert må BedriftsBank gjennomføre ett eller flere av følgende tiltak:
   1. Redusere varigheten til RSE
   2. Kvitte seg med noen av de rentesensitive eiendelene
   3. Emittere mer rentesensitiv gjeld
   4. Øke varigheten på rentesensitiv gjeld

   Praktiske hensyn gjør flere av disse alternativene mindre aktuelle. Opptak av mer gjeld er noe banken ikke kan gjøre uten videre. Dette skyldes at banken bl.a. har minstekrav til egenkapital. Dessuten er det betydelige transaksjonskostnader. Salg av gjeldsinstrumenter kan heller ikke en bank gjennomføre for ofte uten å sette bankens soliditet i tvil. Tilsvarende er det normalt ikke mulig å endre varigheten på eksisterende gjeld, hvilket også utelukker iv.

   Da gjenstår de to alternativene på eiendelssiden. En mulighet er å selge noe av obligasjonsporteføljen og plassere dette beløpet i renteufølsomme eiendeler ii. Det siste alternativet er å selge obligasjoner med lang varighet og plassere beløpet i obligasjoner med kortere varighet i.

3. Anta at beløpet investert i rentesensitive eiendeler og gjeld ikke kan endres, og at også varigheten for rentesensitiv gjeld er gitt. Da finner vi kravet til obligasjonsporteføljens varighet ved å løse immuniseringskravet i spørsmål a. for D_E:

   $\begin{array}{lll}{D}_E& =& \frac{D_G\cdot RSG}{RSE}\\ & =& \frac{\mathrm{1,0}\cdot 600000}{274017}\\ & =& \mathrm{2,19}\end{array}$

OPPGAVE 13.7

1. Gjennom en FRA låses den fremtidige renten til den avtalte. LGs lånerente når lånet tas opp 15. juli, er derfor den avtalte FRA-renten på 10 % pluss 125 bp. (basispunkter), dvs. 11,25 %.
2. FRA-betalingen finnes enklest ved uttrykk (13.3):

   $\begin{array}{lll}FRA\text{-betaling}& =& \frac{\left(r-r_{FRA}\right)\cdot T\cdot L}{B+r\cdot T}\\ & =& \frac{\left(\mathrm{0,12}-\mathrm{0,10}\right)\cdot 90\cdot 20000000}{360+\mathrm{0,12}\cdot 90}\\ & =& 97087\end{array}$

   Med positivt fortegn er det LG som mottar betalingen. Dette beløpet vil nesten fullstendig kompensere for den renteøkningen i perioden som gjør at LG må betale 13,25 % (LIBOR + 125 bp.). Kompensasjonen den fremtidige renteavtalen gir, er knyttet til renten den er notert på. Derfor er det de aktuelle LIBOR-rentene som settes inn i uttrykk (13.3).

OPPGAVE 13.8

1. Forwardprisen er gitt ved samme modell som for finansielle futures, altså uttrykk (13.5). Denne forwardkontrakten gjelder en aksje som ikke betaler dividende. I uttrykk (13.5) betyr det at I er lik null. Uten en tapt kontantstrøm å justere for (I = 0) har vi:

   $\begin{array}{lll}{F}_0& =& S_0\cdot {\left(1+r_f\right)}^T\\ & =& 40\cdot \mathrm{1,1}\\ & =& \mathrm{44,00}\end{array}$

   Verdien av en forwardkontrakt (og futureskontrakt) settes alltid lik null ved starten. Avtalt leveringspris er alltid lik forwardkontraktens pris ved opprettelsen av kontrakten, altså kr 44,00.

2. Verdien av forwardkontrakten om seks måneder er:

   $\begin{array}{lll}{F}_6& =& 45\cdot {\mathrm{1,1}}^{\mathrm{0,5}}\\ & =& \underset{¯}{\mathrm{47,20}}\end{array}$

OPPGAVE 13.9

1. Futuresprisen, F₀, er gitt ved F₀ = (S₀ – I) · (1 + r_f)^T. Her er (S₀ spotprisen (dagens pris) på obligasjonen, mens I er nåverdien av tapt kontantstrøm ved ikke å eie det underliggende instrumentet. Følgelig:

   $\begin{array}{lll}{F}_0& =& \left(84-\frac{4}{{\left(\mathrm{1,06}\right)}^{\mathrm{0,5}}}\right)\cdot {\left(\mathrm{1,06}\right)}^{\mathrm{0,5}}\\ & =& \mathrm{82,48}\end{array}$

2. Med F₀ = 83 > (S₀ – I) · (1 + r_f)^T = 82,56, kan en arbitrasjør oppnå en risikofri fortjeneste. Dette gjøres ved å gå short (kort) i futureskontrakten og kjøpe det underliggende instrumentet (obligasjonen).

OPPGAVE 13.10

1. Beregner først nåverdien av dividenden, I:

   $I=1\cdot \frac{1}{{\left(1+\mathrm{0,08}\right)}^{\raisebox{1ex}{$2$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$12$}\right.}}+1\cdot \frac{1}{{\left(1+\mathrm{0,08}\right)}^{\raisebox{1ex}{$5$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$12$}\right.}}=\mathrm{1,96}$

   Futuresprisen er:

   $F_0=\left(50-\mathrm{1,96}\right)\cdot {\left(1+\mathrm{0,08}\right)}^{\raisebox{1ex}{$6$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$12$}\right.}=\mathrm{49,92}$

   Verdien av futureskontrakten ved starten er alltid lik null.

2. Om tre måneder er nåverdien av dividenden:

   $I=1\cdot \frac{1}{{\left(1+\mathrm{0,08}\right)}^{\raisebox{1ex}{$2$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$12$}\right.}}=\mathrm{0,99}$

   Futuresprisen om tre måneder vil være:

   $F_3=\left(48-\mathrm{0,96}\right)\cdot {\left(1+\mathrm{0,08}\right)}^{\raisebox{1ex}{$3$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$12$}\right.}=\mathrm{47,92}$

OPPGAVE 13.11

La w være antall aksjer. Løser følgende ligning for w (ligningen krever at porteføljen av de 10 kjøpsopsjonene du allerede eier, pluss de w aksjene du kjøper eller selger, er den samme uansett hva aksjeprisen blir):

10 · K_ø + w · A_ø = 10 · K_n + w · A_n

A_ø = 110

A_n = 95

K_ø = 9

K_n = 0

Setter inn:

Trenger å selge (shorte) 6 aksjer.

OPPGAVE 13.12

Kjøp en aksje, skriv (selg) en kjøpsopsjon med innløsningskurs I = 50, skriv en kjøpsopsjon med innløsningskurs I = 60 og kjøp en kjøpsopsjon med I = 110. Kontantstrøm ved forfall for varierende aksjekurser er vist i tabellen under:

	AT < 50	50 < AT < 60	60 < AT < 110	AT > 110
Kjøp en aksje	AT	AT	AT	AT
Skriv kjøpsopsjon (I = 50)	0	–(AT – 50)	–(AT – 50)	–(AT – 50)
Skriv kjøpsopsjon (I = 60)	0	–(AT – 60)	–(AT – 60)	–(AT – 60)
Kjøp kjøpsopsjon (I = 110)	0	0	0	AT – 110
Portefølje	AT	50	110 – AT	0

Investorens strategi avhenger av aksjens volatilitet. Jo mindre volatilitet, desto høyere gevinst. Størst gevinst får investor for aksjekurser ved forfall i intervallet 50–60 kroner.

OPPGAVE 13.13

1. Bruker Black-Scholes regnearket (kan lastes ned fra bokens hjemmeside) for å prise kjøpsopsjonen og finner at K₀ = kr 4,71.

   Black-Scholes opsjons prisings modell

   INPUT PANEL: Legg inn opsjonsdata

   		Kjøpsdato 01.01.2011
   		Forfallsdato 01.01.2012
   T (dager)	365	Tid til forfall (dager)
   σ	20,00 %	Aksjeavkastningens standardavvik (volatilitet)
   I	50,00	Innløsningskurs
   rf	3,00 %	Risikofri rente (prosent per år)
   A0	50,00	Aksjekurs

   OUTPUT PANEL:

   K0	4,71	Black-Scholes Kjøpsopsjons (Call) Pris
   ∆ = N(d1)	0,60	Delta (Sikringsforhold)
   ɛ	6,36	Elastisitet (Prosentuell endring i kjøpsopsjons- prisen for en prosents endring i aksjeprisen)
   S0	3,23	Black-Scholes Salgsopsjons (Put) Pris

2. Finner prisen på salgsopsjonen med innløsningskurs kr 47 med samme reg-nearkmodell. Den er kr 2,01.

   Black-Scholes opsjons prisings modell

   INPUT PANEL: Legg inn opsjonsdata

   		Kjøpsdato 01.01.2011
   		Forfallsdato 01.01.2012
   T (dager)	365	Tid til forfall (dager)
   σ	20,00 %	Aksjeavkastningens standardavvik (volatilitet)
   I	47,00	Innløsningskurs
   rf	3,00 %	Risikofri rente (prosent per år)
   A0	50,00	Aksjekurs

   OUTPUT PANEL:

   K0	6,40	Black-Scholes Kjøpsopsjons (Call) Pris
   ∆ = N(d1)	0,71	Delta (Sikringsforhold)
   ɛ	5,57	Elastisitet (Prosentuell endring i kjøpsopsjons- prisen for en prosents endring i aksjeprisen)
   S0	2,01	Black-Scholes Salgsopsjons (Put) Pris

3. Prisen på salgsopsjonen med innløsningskurs kr 50 er kr 3,23 (se regnearkut-skriften i a. Hvis du lager en straddle ved å kjøpe både kjøps- og salgsopsjonen med innløsningskurs kr 50, er totalpremien kr 7,94 (4,71 + 3,23). Figuren under, som viser strategien, er konstruert ved hjelp av regnearket på hjemmesiden.

   

OPPGAVE 13.14

Den enkleste strategien er å kjøpe 5 000 salgsopsjoner med innløsningskurs 3 % lavere enn dagens OBX-verdi, dvs. med innløsningskurs 485. Da er du garantert at porteføljens verdi om seks måneder ikke blir mindre enn 242,5 mill. kroner (5 000 salgsopsjoner · 100 · 485).

OPPGAVE 13.15

Selskap A har nettorente på: +(LIBOR) – 0,3 %) – LIBOR + 5 % = 4,7 %

Selskap B har nettorente på: +4,75 % + LIBOR – 5 % = LIBOR – 0,25 %

OPPGAVE 13.16

1. (200 – 50) bp. = 150 bp.

   Bruk av arbitrasje er egentlig misvisende her, siden langsiktig og kortsiktig gjeld ikke er sammenlignbare instrumenter.

2. A låner til 4 % mot en nettoforpliktelse i swapavtalen som tilsvarer –(NIBOR + 25 bp.) + 5,00 %.

   Gevinst = 100 bp. sammenlignet med prisen på kortsiktig gjeld uten swapavtalen.

   B låner til NIBOR + 75 bp. mot en nettoforpliktelse i swapavtalen som tilsvarer –5,00 % + (NIBOR + 25 bp.).

   Gevinst = 50 bp. sammenlignet med prisen på langsiktig gjeld utenom swapavtalen.

   Dette gevinstbegrepet er statisk. Når markedsrentene forandres etter inngåelse av avtalen, vil også disse gevinstene forandre seg.

3. At As kontantstrøm fra driften er positivt korrelert med NIBOR. Motsatt for B.