Løsningsforslag

OPPGAVE H.11.1

I figur L.11.1 er kontantstrøm ved forfall for aksjen (A_T), kjøpsopsjonen (K_T) og salgsopsjonen (S_T) vist med stiplede kurver. Porteføljens kontantstrøm (X_T) vises av den heltrukne kurven.

Data for figuren er funnet ved å beregne porteføljens kontantstrøm (X_T) for varierende aksjekurser ved forfall (A_T).

AT
	0	20	40	60	80	100	120	140	160	180	200	220	240	260	280
AT	0	20	40	60	80	100	120	140	160	180	200	220	240	260	280
+ KT	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	20	40	60	80
– ST	200	180	160	140	120	100	80	60	40	20	0	0	0	0	0
= XT	–200	–160	–120	–80	–40	0	40	80	120	160	200	240	280	320	360

OPPGAVE H.11.2

Risikofri rente (for 76 dagers perioden) kan beregnes med utgangspunkt i salg-kjøp-paritet (SKP i uttrykk (11.5)) eller basert på kontantstrømmene. Bruker vi SKP og løser med hensyn på risikofri 76 dagers rente r_f,76, gir dette:

Årlig risikofri rente, r_f, er:

Brukes kontantstrømmene, må du først bestemme nettoinvesteringen 05.08.:

(1)	Kjøper 1 000 aksjer; betaler 1 000 · 118,70	kr 118 700
(2)	+ Kjøper 1 000 salgsopsjoner; betaler 1 000 · 7,40	7 400
(3)	– Selger 1 000 kjøpsopsjoner; mottar 1 000 · 4,40	4 400
(4)	= Nettoinvestering	kr 121 700

Du vet fra oppgave 11.5 at 76 dager senere (20.10.) er porteføljens kontantstrøm er 125 000 uansett hva aksjeprisen blir. Kontantstrømmen er derfor risikofri. Periodens risikofrie rente, r_f,76, må derfor være den riktige diskonteringsrenten:

Løses dette uttrykket mhp. r_f,76, får vi, som over, at r_f,76 = 0,0271.

OPPGAVE H.11.3

Med en underpriset salgsopsjon kan gevinst oppnås ved følgende strategi:

Kontantstrøm
+	Selg en kjøpsopsjon	kr 2,10
–	Kjøp en salgsopsjon	8,25
–	Kjøp en aksje short (levering ved opsjonsforfall)	77,70
+	Lån risikofritt nåverdien av innløsningskursen*	84,90
=	Portefølje	kr 1,05
* NV (I) = I · e–0,03 · (14/365) = 84,90

Denne arbitrasjestrategien gir altså en netto innstrømning på investeringstidspunktet på kr 1,05 Ved forfall er (f.eks.) aksjekursen steget til kr 90 eller falt til (f.eks.) kr 65. Porteføljens kontantstrøm blir i så fall:

AT = 65			AT = 90
–	Solgt kjøpsopsjon; må betale	kr 0	kr 5
+	Kjøpt salgsopsjon; mottar	20	0
+	Kjøpt en aksje; mottar	65	90
–	Lånt risikofritt; må betale	85	85
=	Porteføljen	kr 0	kr 0

Her er det derfor mulig å oppnå en øyeblikkelig gevinst på kr 1,05. Samtidig er fremtidig kontantstrøm null uansett aksjekurs. Et marked med stor konkurranse vil ikke tillate at en slik situasjon består. Investorer vil oppdage feilprisingen. Gjennom arbitrasjehandel vil kursene på kjøps- og salgsopsjoner bringes tilbake til likevekt i henhold til SKP.

OPPGAVE H.11.4

1. Beregner sikringsforholdet:

   $\begin{array}{lll}m& =& \frac{ø\cdot A_0-n\cdot A_0}{K_{ø}-K_n}\\ & =& \frac{150-90}{40-0}\\ & =& \underset{¯}{\mathrm{1,5}}\end{array}$

   For å ha en sikret portefølje må du altså selge 1,5 kjøpsopsjoner for hver aksje du kjøper.

2. For å sikre en investering på 1 000 aksjer må du skrive 1 500 kjøpsopsjoner. Hvis aksjeprisen blir kr 150, er porteføljen verd:

   1 000 aksjer	kr 150 000
   – Tap fra solgte opsjoner [(150–110) · 1 500]	60 000
   = Porteføljen	kr 90 000

   Blir aksjeprisen kr 90, er opsjonene verdiløse. Porteføljens verdi er derfor lik aksjenes verdi, som er
   1 000 · 90 = kr 90 000. Porteføljens verdi er den samme uansett om aksjeprisen blir kr 90 eller kr 150.

3. 
   

   $\begin{array}{lll}\left(1+r_f\right)& =& \frac{\text{Porteføljens}\text{kontantstrøm}\text{ved}\text{årets}\text{slutt}}{\text{Netto}\text{investering}\text{ved}\text{årets}\text{begynnesle}}\\ & =& \frac{\text{Porteføljens}\text{kontantstrøm}\text{ved}\text{årets}\text{slutt}}{\text{Aksjeinvestering}-\text{innbetaling}\text{for}\text{solgte}\text{opsjoner}}\\ \mathrm{1,03}& =& \frac{90000}{1000\cdot 95-1500\cdot K_0}\end{array}$

   Løst med hensyn på K₀:

   K₀ =kr 5,08

OPPGAVE H.11.5

1. Utbetaling av uventet dividende vil redusere kjøpsopsjonens verdi. Dette skyldes at utbetalt dividende reduserer aksjekursen og dermed også verdien av en kjøpsopsjon.
2. Hvis dividende forventes utbetalt, kan dette tas hensyn til ved en korreksjon i BS-modellen som i uttrykk (11.13):

   $K_0=\left[A_0-E\left(D_t\right)\cdot e^{-i_f\cdot t}\right]\cdot N\left(d_1\right)-I\cdot e^{-i_f\cdot T}\cdot N\left(d_2\right)$

   hvor forventet dividende, E(D_t), er kr 20 utbetalt om tre måneder (t = 3). Innsatt:

   $\begin{array}{lll}{K}_0& =& \left[280-20\cdot e-\mathrm{0,03}\cdot \left(3/12\right)\right]\cdot \mathrm{0,35073}-400\cdot e-\mathrm{0,03}\cdot \left(6/12\right)\cdot \mathrm{0,18852}\\ & =& \text{kr}\underset{¯}{\mathrm{16,96}}\end{array}$

OPPGAVE H.11.6

1. Aksjonærene har en kjøpsopsjon på hele selskapet med gjeldens verdi som innløsningskurs. Kjøpsopsjonens verdi øker når variansen til de underliggende eiendelene øker. Ved å velge prosjekter med svært høy risiko (som øker totalrisikoen for selskapets eiendeler) kan derfor aksjonærene øke sin formue. Aksjonærene får på denne måten muligheten for å oppnå en spesielt høy kontantstrøm på prosjektet, men har fortsatt begrenset det maksimale tapet til sin innskutte kapital. Er kreditorene oppmerksomme, vil vi imidlertid vente at de erkjenner aksjonærenes insentiv til å velge høyrisikoprosjekter. De vil derfor beskytte seg mot dette i låneavtalen f.eks. ved å forlange en høyere rente eller forhåndsgodkjenning av store investeringsprosjekter.
2. Aksjonærene har en kjøpsopsjon overfor selskapets kreditorer fordi eierne (gjennom selskapets ledelse) kan kjøpe obligasjonene tilbake med innløsningskurs lik tilbakekallingskursen.