Løsningsforslag

OPPGAVE H.2.1

1. 
   

   
   FIGUR H.2.1

2. En risikoavers investor vil se bort fra portefølje C fordi D har større forventning og samme standardavvik. Portefølje E er også uaktuell, siden E har større standardavvik enn F og samme forventede avkastning. De aktuelle alternativene er derfor porteføljene A, B, D og F. Det er ingen dominans mellom disse fire porteføljene fordi:

   E(r_A) < E(r_B) < E(r_D) < E(r_F)

   og:

   Std(r_A) < Std(r_B) < Std(r_D) < Std(r_F)

3. Uten å kjenne risikopreferansene i detalj er det ikke mulig å avgjøre hvilken av disse fire porteføljene en risikoavers investor vil velge. Ekstremt høy risikoaversjon vil føre til valg av portefølje A (den risikofrie). Svært lav risikoaversjon vil gi portefølje F.

OPPGAVE H.2.2

1. E(X_A) = 150 E(X_B) = 40 E(X_C) = 40

   Var(X_A) = 0,2 · (100 – 150)² + 0,6 · (150 – 150)² + 0,2 · (200 – 150)² = 1 000

   Std(XA)	= (1 000)1/2
   	= 31,6
   Var(XB)	= 0,2 · (30 – 40)2 + 0,6 · (40 – 40)2 + 0,2 · (50 – 40)2
   	= 40
   Std(XB)	= (40)1/2
   	= 6,3
   Var(XC)	= 0,2 · (60 – 40)2 + 0,6 · (40 – 40)2 + 0,2 · (20 – 40)2
   	= 160
   Std(XC)	= (160)1/2
   	= 12,6

   Basert på forventning-standardavvik-kriteriet er prosjekt B bedre enn C. Risikoen er mindre i B, og forventet kontantstrøm er lik. Samtidig er investeringsbeløpene like. A og B kan imidlertid ikke rangeres uten å kjenne risikopreferansene.

2. Beregner først prosjektporteføljenes forventede kontantstrøm (i kroner):

   E(XAB)	= E(XA) + E(XB)
   	= 150 + 40
   	= 190
   E(XAC)	= 150 + 40
   	= 190

   For å finne prosjektporteføljens standardavvik må først kovariansene beregnes:

   Kov(XA, XB)	= 0,2 · (100 – 150) · (30 – 40) + 0,6 · (150 – 150) · (40 – 40)
   	+ 0,2 · (200 – 150) · (50 – 40)
   	= 200
   Kov(XA,XC)	= 0,2 · (100 – 150) · (60 – 40) + 0,6 · (150 – 150) · (40 – 40)
   	+ 0,2 · (200 – 150) · (20 – 40)
   	= –400
   Std(XAB)	= [Var(XA) + Var(XB) + 2 · Kov(XA,XB)]1/2
   	= (1 000 + 40 + 2 · 200)1/2
   	= kr 37,95
   Std(XAC)	= [1 000 + 160 + 2 · (–400)]1/2
   	= kr 18,97

   Portefølje AC dominerer AB: De to porteføljene har samme forventning på kr 190, men AC har lavere risiko enn AB. Samtidig er investeringsutlegget det samme for begge.

OPPGAVE H.2.3

I begge situasjonene er gjennomsnittlig standardavvik større enn porteføljens standardavvik. Årsaken er diversifiseringseffekten ved at A og B ikke samvarierer perfekt (ikke går helt i takt). At dette blir resultatet, kan du også se ved å sammenligne utfallsspekteret. Dette er mye smalere for porteføljene enn for enkeltaksjene.

OPPGAVE H.2.4

1. Jo mindre samvariasjon (lavere korrelasjonskoeffisient) mellom aksjers avkastning, desto større reduksjon i porteføljens standardavvik (varians) for et bestemt nivå på forventet avkastning. Følgelig er også diversifiseringsgevinsten større.

2. Jo flere aksjer som er tilgjengelig, desto større er diversifiseringsgevinsten. Tenk deg eksempelvis tre ulike aksjer. Å kunne lage porteføljer av alle tre vil alltid være bedre enn bare å kunne bruke to av dem.

   En liten investor vil vanligvis ikke investere i mange aksjer fordi transaksjonskostnadene (kurtasje o.l.) da vil bli uforholdsmessig store. Nettopp dette problemet er en hovedgrunn til at aksjefond ble etablert. Slike selskaper gjennomfører en effektiv diversifisering på vegne av de små investorene. Anta eksempelvis at fondet har en portefølje med aksjer i 100 børsnoterte selskaper. Da vil en investor som kjøper en andel i dette fondet, umiddelbart ha eierandeler i ca. halvparten av alle norske børsnoterte selskaper.

OPPGAVE H.2.5

1. Beregningene følger samme mønster som i løsning av oppgave 2.8. Resultatene er sammenfattet i tabellen under, hvor vektene i porteføljene (1) – (5) er (S for Sebra og A for Arbes):

   Portefølje	Vekter
   (1)	wS = 1,00	wA = 0,00
   (2)	wS = 0,75	wA = 0,25
   (3)	wS = 0,50	wA = 0,50
   (4)	wS = 0,25	wA = 0,75
   (5)	wS = 0,00	wA = 1,00

   Std(r_p) ved ulike korrelasjonskoeffisienter er vist i de tre kolonnene til høyre:

   Portefølje	E(rp)	Korr = –0,5	Korr = 0	Korr = 0,5
   (1)	0,15	0,2000	0,2000	0,2000
   (2)	0,20	0,1323	0,1803	0,2179
   (3)	0,25	0,1732	0,2236	0,2646
   (4)	0,30	0,2784	0,3041	0,3279
   (5)	0,35	0,4000	0,4000	0,4000

   Legg merke til at vi her bruker desimaltall, mens oppgave 2.8 oppgir tallene i prosent. Dette gjør vi bare for å minne deg om at i praksis uttrykkes både forventning og standardavvik på begge måter. Du må derfor bli vant til å skifte fra den ene skrivemåten til den andre uten å bli forvirret.
2. 
   

   
   FIGUR H.2.2

OPPGAVE H.2.6

Vi setter oppgavens opplysninger inn i uttrykk (2.6), (2.8) og (2.9).

Sammenlign dette med oppgave 2.4 i boken. Da ser du for det første at porteføljens forventning ikke endres selv om samvariasjonen mellom aksjene endres. Derimot vil du oppdage at når samvariasjonen mellom aksjene i en portefølje endres (her representert ved endrede korrelasjonskoeffisienter), endres porteføljens standardavvik.

OPPGAVE H.2.7

1. Betaberegningen gjøres ved hjelp av uttrykk (2.12). Ettersom verken kovariansen mellom Spekula og markedsporteføljen eller markedsporteføljens varians er kjent, må disse størrelsene beregnes først. Til det brukes uttrykkene (2.5) og (2.1), som i sin tur krever at både Spekulas og markedets forventede avkastning beregnes ved hjelp av uttrykk (1.4).

   E(rS)	= 0,10 · (–0,20) + 0,15 · (–0,12) + 0,25 · (0,05) + 0,25 · (0,14)
   	+ 0,15 · (0,22) + 0,10 · (0,40)
   	= 0,0825
   E(rm)	= 0,0510
   Var(rm)	= 0,10 · (–0,12 – 0,051)2
   	+ 0,15 · (–0,05 – 0,051)2
   	+ 0,25 · (0,02 – 0,051)2
   	+ 0,25 · (0,09 – 0,051)2
   	+ 0,15 · (0,14 – 0,051)2
   	+ 0,10 · (0,22 – 0,051)2
   	= 0,00912
   Kov(rS, rm)	= 0,10 · (–0,20 – 0,0825) · (–0,12 – 0,051)
   	+ 0,15 · (–0,12 – 0,0825) · (–0,05 – 0,051)
   	+ 0,25 · (0,05 – 0,0825) · (0,02 – 0,051)
   	+ 0,25 · (0,14 – 0,0825) · (0,09 – 0,051)
   	+ 0,15 · (0,22 – 0,0825) · (0,14 – 0,051)
   	+ 0,10 · (0,40 – 0,0825) · (0,22 – 0,051)
   	= 0,01591

2. 
   
   $\begin{array}{lll}{\beta }_S& =& \frac{Kov\left(r_S,r_m\right)}{Var\left(r_m\right)}\\ & =& \frac{\mathrm{0,01591}}{\mathrm{0,00912}}\\ & =& \underset{¯}{\mathrm{1,74}}\end{array}$
3. 
   
   $\begin{array}{lll}{\beta }_S& =& \frac{Kor{r}_{S,m}\cdot Std\left(r_S\right)}{Std\left(r_m\right)}\\ & =& \frac{\mathrm{0,91}\cdot \mathrm{0,22}}{\mathrm{0,1}}\\ & =& \underset{¯}{\mathrm{2,00}}\end{array}$
4. 
   

   
   FIGUR H.2.3

5. Med β = 2 vil en økning i markedsporteføljens avkastning på 2 prosentpoeng føre til en økning i forventet avkastning på Spekula-aksjen på 4 prosentpoeng. Tilsvarende gjelder for et fall i markedsavkastningen: Faller denne med 5 prosentpoeng, vil vi forvente et fall i Spekula-aksjens avkastning på 10 prosentpoeng.

   En aksjes betakoeffisient sier med andre ord noe om aksjens følsomhet overfor endringer i markedet generelt.