Løsningsforslag

OPPGAVE H.3.1

Bruker KVM for gjeld fra (3.7) som kapitalkostnadsmodell og finner at kapitalkostnaden for A, k_A, er:

Evigvarende kontantstrøm tilsier dermed at nåverdien er:

Tilsvarende for B:

Her bør du kjøpe begge obligasjonene, siden både A og B er mer verd enn dagens markedspris.

OPPGAVE H.3.2

1. Forventet egenkapitalavkastning
   $=\frac{180000}{160000}-\mathrm{1,}\text{ dvs}\text{. }\mathrm{12,5}\%$

   Bruker KVM til å fastsette avkastningskravet (kapitalkostnaden; alternativkostnaden):

   $\begin{array}{lll}{k}_E& =& 2\%+\mathrm{2,3}\cdot \left(7\%-2\%\right)\\ & =& \mathrm{13,5}\%\end{array}$

   Forventet avkastning er mindre enn avkastningskravet. Prosjektet bør derfor ikke gjennomføres.

2. Maksimal egenkapitalbeta ( ${\beta }_E^{*}$ ) er den betaverdien som gjør kapitalkostnaden lik internrenten på 12,5 %:

   $\begin{array}{l}\mathrm{12,5}\%=2\%+{\beta }_E^{*}\cdot \left(7\%-2\%\right)\\ {\beta }_E^{*}=\mathrm{2,1}\end{array}$

OPPGAVE H.3.3

1. Figur H.3.1 viser at når du bare kan investere i ett av landene, er det effisiente settet gitt ved punktene B, J, S, E og F (vi har stiplet en kurve mellom disse fem punktene, men tilpasning imellom punktene er altså ikke mulig under våre forutsetninger). Avhengig av hvor risikoavers du er, vil du altså velge å investere i Belgia, Japan, Sveits, England eller Frankrike.

   
   FIGUR H.3.1

2. Det nye effisiente settet er lagt inn i figur H.3.1
   • Legg for det første merke til at det effisiente settet har fått et betydelig skift i nordvestlig retning ved at det nå er mulig å diversifisere mellom landene.
   • Portefølje 1 er 100 % investering i landet med størst forventet avkastning (Frankrike). Dette er også den eneste av investeringene hvor et effisient punkt i spørsmål a. er felles med et effisient punkt i spørsmål b.
   • Ingen av de effisiente porteføljene investerer mye i land som har parvis høy korrelasjon, som f.eks. Sveits/Tyskland og Kanada/USA.

OPPGAVE H.3.4

1. 
   

   
   FIGUR H.3.2

2. Fra figur H.3.2 ser du at den risikofylte porteføljen som du bør investere i, er portefølje 13. Denne har E(r_p) = 13,2 % og Std(r_p) = 8,8 %.

   For å oppnå en forventet avkastning på 10 % må du imidlertid dele investeringen mellom risikofrie statsobligasjoner og portefølje 13 i et bestemt forhold. Dette er gitt ved:

   E(r_p) = w · r_f + (1 – w) · E(r₁₃)

   eller:

   10 = w · 3 + (1 – w) · 13,2

   som gir w = 0,31

   Din optimale investering er derved 31 000 kroner i norske statsobligasjoner og 69 000 kroner i portefølje 13.

   Denne løsningen tar en forenklende forutsetning om at valutarisiko ikke eksisterer. Samme forutsetning brukes i spørsmål c.

3. Også denne investoren vil velge portefølje 13 som sin risikofylte investering i kombinasjon med risikofri plassering. Forholdet er gitt ved:

   Var(r_p) = w² · Var(r_f) + (1 – w) 2 · Var(r₁₃) + 2 · w · (1 – w) · Korr_f,13 · Std(r_f) · Std(r₁₃)

   Siden Var(r_f) = 0 og Korr_f,13 = 0, kan dette forenkles til:

   Std(r_p) = (1 – w) · Std(r₁₃)

   Innsatt gir dette:

   20 = (1 – w) · 8,8

   dvs. w = –1,27

   Dette betyr at optimal investering er å sette kr 113 500 i portefølje 13. Dette er finansiert med kr 50 000 i egenkapital og kr 63 500 lånt til den risikofrie renten 3 %.

4. Den optimale tilpasningen i spørsmålene b. og c. bygger på det såkalte tofondsresultatet. Dette innebærer at alle investorer setter sammen sin risikable portefølje på nøyaktig samme måte, uansett individuelle forskjeller i risikoholdning. Den enkelte investors grad av risikoaversjon avgjør imidlertid hvor mye som investeres hhv. risikabelt og risikofritt. Legg for øvrig merke til at tofondsresultatet ikke trenger noen forutsetning om likevekt i aksjemarkedet eller at KVM holder som likevektsmodell.

OPPGAVE H.3.5

1. Ligningen for kapitalmarkedslinjen (uten skatt) er:

   $E\left(r_p\right)=r_f+\frac{E\left(r_m\right)-r_f}{Std\left(r_m\right)}\cdot Std\left(r_p\right)$

   Tallene innsatt gir:

   E(r_p) = 0,03 + 0,25 · Std(r_p)

2. Se uttrykk (3.4). Ligningen for kapitalmarkedslinjen er en likevektsbetingelse utelukkende for effisiente porteføljer. Derfor kan vi slutte at av porteføljene A og B er det bare A som er effisient, dvs. at all usystematisk risiko er diversifisert bort. Portefølje B, som ikke ligger på kapitalmarkedslinjen, er ikke maksimalt diversifisert.

   
   FIGUR H.3.3

OPPGAVE H.3.6

Beregner først bokført verdi og markedsverdi for selskapene:

Selskap	Antall aksjer	Pålydende	Bokført verdi	Markedsverdi
Alfa	10 000	60	600 000	1 620 000
Beta	5 000	80	400 000	2 160 000
Gamma	9 000	100	900 000	540 000
Delta	6 000	100	600 000	1 080 000
Sum			2 500 000	5 400 000

Beregner så bokbaserte vekter:

Markedsbaserte vekter blir:

For å vise at bare markedsbaserte vekter er forenlig med likevekt, setter vi opp følgende tabell for samlet tilbud og samlet etterspørsel under både bokbaserte og markedsbaserte porteføljevekter.

	Bokbaserte porteføljevekter				Markedsbaserte porteføljevekter
	wA	wB	wG	wD	wAm	wBm	wGm	wDm
Ettersp. X	583	389	875	583	729	972	243	486
Ettersp. Y	302	302	680	454	567	756	189	378
Ettersp. Z	389	173	389	259	324	432	108	216
Samlet ettersp.	1 274	864	1 944	1 296	1 620	2 160	540	1 080
Tilbud	1 620	2 160	540	1 080	1 620	2 160	540	1 080

For å illustrere beregningene i tabellen over kan vi ta utgangspunkt i familie X. Ifølge oppgaveteksten eier denne familien 45 % av hele markedet. Siden verdien av markedsporteføljen er 5,4 mill., investerer familie X totalt 2,43 mill. i de fire selskapene. Bokbaserte vekter tilsier derfor at familien investerer 2 430 000 · 0,24 = 583 000 i selskap Alfa (583 200 uten avrunding). Brukes det i stedet markedsbaserte vekter, vil familien investere 729 000
(2 430 000 · 0,30) i selskap Alfa.

Som det fremgår av de to nederste linjene i tabellen, er det bare markedsbaserte porteføljevekter som gjør tilbud lik etterspørsel i alle fire selskapene. Med bokbaserte vekter er det overskuddsetterspørsel i Gamma og Delta, mens det er underskuddsetterspørsel i Alfa og Beta.

OPPGAVE H.3.7

1. 
   

   
   FIGUR H.3.4

   (1) A.

   (2) A eller B, avhengig av styrken på risikomotviljen.

   (3) B.

   (4) B eller D er best. (C er bedre enn A, men B er bedre enn C igjen. B og D kan ikke rangeres, siden D har høyest risiko (ønskelig), men lavest forventning.)

2. 
   

   
   FIGUR H.3.5

   (1) AB eller BD, avhengig av styrken på risikomotviljen.

   (2) BD.

   (3) BD.

OPPGAVE H.3.8

1. 
   

   
   FIGUR H.3.6

   Med låne- og sparerente på 2 % etter skatt er det reviderte effisiente settet aDb. Med lånerente på 4 % etter skatt og sparerente på 2 % etter skatt blir det effisiente settet aDCd.

2. I et perfekt kapitalmarked kan investeringsbeslutningen brytes ned i to trinn:
   1. De optimale andelene av risikofylte investeringer bestemmes først (hvilken andel av investors portefølje skal investeres i hvert enkelt selskap). Disse andelene (porteføljevektene) er identiske for alle risikoaverse investorer, uansett hvor sterk grad av risikoaversjon den enkelte investor har.
   2. Investor bestemmer deretter hvor stor del av formuen som skal investeres risikofritt ut fra subjektive risikopreferanser. Jo sterkere risikoaversjon, desto mer investeres risikofritt. Resten av formuen investeres i risikofylte prosjekter. Sammensetningen av den risikable biten er den samme for alle risikoaverse investorer.
3. Systematisk risiko (ikke-diversifiserbar risiko) er den delen av total risiko (variansen i aksjeavkastningen) som er knyttet til fluktuasjoner i hele markedet. Slik risiko berører alle selskaper, og investor kan derfor ikke beskytte seg mot den ved å satse på mange selskaper i stedet for bare et fåtall. Systematisk risiko gjelder samvariasjon mellom selskapet og hele markedet, og den måles med beta.

   Usystematisk risiko (diversifiserbar risiko) er den delen av totalrisikoen som kan elimineres ved å kombinere investeringen med mange andre prosjekter i en portefølje. Denne risikoen er spesifikk for det enkelte selskapet. Derfor er den uavhengig av bevegelser i hele markedet. Denne risikoen blir dermed borte når investor sprer sin portefølje over mange enkeltselskaper.

OPPGAVE H.3.9

Beregner først nominelt avkastningskrav for eierne i de to prosjektene ved hjelp av KVM som kapitalkostnadsmodell:

Sammenligning av avkastningskrav k og forventet avkastning (internrente) på prosjektets egenkapitalstrøm IR gir:

Disse prosjektene er gjensidig utelukkende prosjekter. Likevel kan du råde Jappi til å investere i prosjekt B på basis av internrenten. Dette skyldes at i dette tilfellet er bare ett av prosjektene lønnsomme. Du slipper da å gå veien om differanseinvesteringen eller nåverdiberegning, som du mangler data til å utføre.

OPPGAVE H.3.10

Graden av effisiens	Hypotese	Tester
Svak effisiens	Påfølgende kursendringer er uavhengige	Autokorrelasjonstest (samvariasjon over tid)
	Stabil sannsynlighetsfordeling	Kji-kvadrat test på fordelingsparametre
Halvsterk effisiens	Aksjekursene justeres forventningsrett og raskt for offentlig tilgjengelig informasjon	Kurseffekt av årsrapporter
		Kursendringer pga. fondsemisjoner og splitter
Sterk effisiens	Ingen investorer har monopolistisk adgang til kursrelevant informasjon	Innsidernes avkastning
		Aksjefondenes avkastning

OPPGAVE H.3.11

Et marked kan være effisient selv om ikke hele informasjonsmengden er offentlig tilgjengelig. Når slik privat informasjon offentliggjøres, er det derfor ikke unormalt om markedet reagerer kraftig med positive eller negative kursendringer. Det er trolig dette som har skjedd med Prosperitus. Kunngjøringen om salg av eiendeler kom overraskende, og salgsprisen var trolig en annen enn det markedet trodde eiendelene var verd. Så lenge aksjekursen tilpasser seg det nye informasjonssettet raskt og forventningsrett, er en kraftig kursreaksjon ikke inkonsistent med effisiens.

OPPGAVE H.3.12

1. Siden prosjektet er ettårig, finnes internrenten ved å dividere differansen mellom netto innbetaling og investering med investeringen. Kontantstrøm (i tusen kroner) er i basistilfellet (–50, 60), med internrente (60 – 50)/50, dvs. 20 %.
2. I tabellen står prosentvis endring fra basis i parentes.

   Faste kostnader		Internrente	Enhetspris		Internrente
   28 000	(40)	4	120	(20)	60
   26 000	(30)	8	115	(15)	50
   24 000	(20)	12	110	(10)	40
   22 000	(10)	16	105	(5)	30
   18 000	(–10)	24	95	(–5)	10
   16 000	(–20)	28	90	(–10)	0
   14 000	(–30)	32	85	(–15)	–10
   12 000	(–40)	36	80	(–20)	–20

   Vi ser at kritisk nivå for faste kostnader er 24 000 (økning på 20 %). Tilsvarende er det lett å regne ut at pris på kr 96 (4 % reduksjon) gir internrente lik kapitalkostnad. I stjernediagrammet er dette markert med den stiplede linjen som går ut fra 12 % internrente. Prisfølsomhetslinjen skjærer denne stiplede linjen ved 4 % prisreduksjon, mens følsomhetskurven for faste kostnader skjærer ved 20 % økning.

   
   FIGUR H.3.7

3. 
   

   Faste kostnader		Enhetspris		Internrente
   12 000	(–40)	120	(20)	76
   28 000	(40)	120	(20)	44
   22 000	(10)	105	(5)	26
   18 000	(–10)	95	(–5)	14
   26 000	(30)	102	(2)	12
   12 000	(–40)	80	(–20)	–4
   28 000	(40)	80	(–20)	–36

   Vi ser at spekteret av mulige utfall går fra en internrente på +76 % til –36 %. Vi ser også at én blant mange kombinasjoner som gir avkastning lik kapitalkostnaden, er 30 % økning i faste kostnader kombinert med 2 % prisøkning. Et bedre inntrykk av simultan følsomhet gir figur H.3.8.

   
   FIGUR H.3.8

   Kurven merket IR = 12 % viser kombinasjoner av pris og faste kostnader som gir null i nåverdi.

4. Total risiko. Ikke mulig å avgjøre hva som er systematisk kontra usystematisk komponent.

OPPGAVE H.3.13

1.  
   • Det er urimelig å anta at nominelt rentenivå er tilnærmet upåvirket av inflasjonen. I tabellen varierer risikofri realrente mellom (ca.) +3 % og –1 %.
   • Scenariene 1–2 er atypiske for Norge. Normalt ligger nominell rente over inflasjonen, dvs. risikofri realrente er positiv.
   • Som regel vil høy norsk inflasjon (i forhold til amerikansk) gi høyere valutakurs (dyrere dollar) enn lav norsk inflasjon. Her er det omvendt.
2.  

   Scenario	Inflasjon, %	Nominell risikofri rente, %	Dollarkurs
   1	6	10	7,50
   2	5	8	7,10
   3	3	5	6,50
   4	1	3	6,50

   Her har vi definert scenarier ut fra de argumentene som ble brukt ved besvarelsen av oppgave a.

3. Ja. Scenariene er definert ut fra makrovariabler som er med og bestemmer risikoen i markedsporteføljen. Jo sterkere kopling mellom scenariene og markedsporteføljen, og jo mer prosjektets kontantstrøm samvarierer med scenariene, desto større del av prosjektrisikoen er systematisk.

OPPGAVE H.3.14

1. Tabellen viser sannsynligheten for ulike kombinasjoner av pris (P) og kvantum (K):

   	K = 500	K = 800
   P = 100	0,2	0,3
   P = 130	0,4	0,1

2. Siden det er avhengighet mellom pris og kvantum, kan det ikke gjøres uavhengige trekninger av disse under simuleringen. En måte å ordne dette på er å lage en trekningsprosedyre direkte fra fordelingen i punkt a, hvor salgsinntekten er produktet av pris og kvantum:

   Pris	Kvantum	Salgsinntekt	Sannsynlighet	Loddnummer
   100	500	50 000	0,2	1, 2, 3, 4
   100	800	80 000	0,3	5, 6, 7, 8, 9, 10
   130	500	65 000	0,4	11, 12, 13, 14,
   				15, 16, 17, 18
   130	800	104 000	0,1	19, 20

3. Simulert hyppighet er 60 %, mens inngangsfordelingen gir 40 % sjanse for salgsinntekt på minst 80 000.
4. Utelukkende usystematisk risiko. Det er ingen grunn til å tro at salgsinntekten for en lokal juledetaljist korrelerer med avkastningen på bred portefølje av prosjekter.

OPPGAVE H.3.15

1. Venturi kan selv si ja eller nei til toårig produktutvikling i dag (januar 2012). Deretter kan selskapet, to år senere, avgjøre om det vil ekspandere, holde samme nivå eller avvikle. Altså: To beslutningspunkter.

   AS Venturi har ikke selv kontroll over hva konkurrentene gjør. Her betyr dette at selskapet må tilpasse seg utfallet av «konkurrentlotteriet» den dagen dette blir kjent, dvs. om to år. Altså: Ett sjansepunkt.

2. Bare en av de to beslutningene må tas i dag (ja/nei til produktutvikling); den andre tas først om to år (endelig skala på produksjonen). Dette betyr likevel ikke at beslutningen i dag er uavhengig av hva som bør gjøres om to år. Optimalt valg i dag avhenger kritisk av hva som vil være (tilstandsbestemt) optimal beslutning om to år. I denne oppgaven oppløses all usikkerhet om to år, dvs. pr. 1.1.2014.
3. 
   

   
   FIGUR H.3.9

4. Kostnadene påløpt i år 2011 er irrelevante («sunk costs»), siden de ikke kan påvirkes uansett hvordan Venturi tilpasser seg heretter.

   Hvis selskapet gjennomfører produktutviklingen, konkurransen viser seg å bli liten og volumet deretter ikke endres, oppstår følgende kontantstrøm f.o.m. 2012:

   12	13	14	15	16	17	18	19
   –20	–30	19	20	40	60	40	10

   Samme strategi ved stor konkurranse gir følgende kontantstrøm:

   12	13	14	15	16	17	18	19
   –20	–30	5	10	10	5	3	0

   Dermed har vi to betingede kontantstrømmer. Sannsynligheten for liten og stor konkurranse er hhv. 30 % og 70 %. Forventet kontantstrøm ved en slik strategi (avrundet til nærmeste million) blir dermed:

   12	13	14	15	16	17	18	19
   –20	–30	9	13	19	22	14	3

5. Kombinasjonen «produktutvikling–liten konkurranse–ekspansjon» gir følgende kontantstrøm:

   12	13	14	15	16	17	18	19	20
   –20	–30	19	–70	82	95	75	40	20

   «Produktutvikling–stor konkurranse–nedleggelse» gir:

   12	13	14	15	16	17	18	19	20
   –20	–30	5	24	0	0	0	0	0

   Forventet kontantstrøm ved denne strategien kan dermed beregnes som et veiet snitt av de to betingede kontantstrømmene over, hvor det er 30 % sjanse for «produktutvikling–liten konkurranse–ekspansjon» og 70 % sjanse for «produktutvikling–stor konkurranse–nedleggelse»:

   12	13	14	15	16	17	18	19	20
   –20	–30	9	–4	25	29	23	12	6

6. Nei. For det første bør ikke selskapets kapitalkostnad brukes på enkeltprosjekter så sant du ikke vet at det nye prosjektet har omtrent samme risiko som selskapets eksisterende prosjekter har i gjennomsnitt. For det andre er det fort gjort å dobbeltelle for risiko. Dette skjer hvis du først diskonterer med risikojustert rente til en forventet nåverdi og deretter gjør et skjønnsmessig fradrag i dette nåverditallet basert på det spekter av mulige utfall som beslutningstreet viser.