Løsningsforslag

OPPGAVE H.5.1

1. For å finne effektiv rente på obligasjonen kan vi bruke utrykk (5.1) og løse for effektiv rente r:

   $\mathrm{102,}\text{77}={\displaystyle \sum _{t=1}^{11}\frac{\mathrm{0,0375}\cdot 100}{\left(1+r\right)}}+\frac{100}{{\left(1+r\right)}^{11}}\Rightarrow r=\mathrm{0,034432}\left(\approx \mathrm{3,44}\%\right)$

2. For å finne effektiv rente pr. halvår på obligasjonen kan vi bruke utrykk (5.1) og løse for effektiv rente r/2:

   $\mathrm{102,}\text{77}={\displaystyle \sum _{t=1}^{22}\frac{\raisebox{1ex}{$\mathrm{0,0375}$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$2$}\right.\cdot 100}{\left(1+\raisebox{1ex}{$r$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$2$}\right.\right)}}+\frac{100}{{\left(1+\raisebox{1ex}{$r$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$2$}\right.\right)}^{22}}\Rightarrow \raisebox{1ex}{$r$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$2$}\right.=\mathrm{0,01723}\left(\approx \mathrm{1,72}\%\right)$

   Årsrenten er følgelig 2 · 1,72 = 3,45 %

   Forskjellen mellom de to årsrentene skyldes den spesielle rentekonvensjonen vi beskrev i avsnitt 5.3.

OPPGAVE H.5.2

1. La ₀f₁ være terminrenten (forwardrenten, den korte renten) mellom tidspunktene 0 og 1, ₁f₂ forwardrenten mellom tidspunktene 1 og 2, osv. Spotrentene (de lange rentene) er symbolisert med ₀r₁, ₀r₂, osv. Da har vi følgende sammenheng fra uttrykk (5.2):

   $\begin{array}{l}{\left(1+{}_{0}r{}_n\right)}^n=(1+{}_{0}f{}_1)\cdot (1+{}_{1}f{}_2)\cdot ,\dots ,\cdot (1+{}_{n-1}f{}_n)\\ {}_{0}r{}_1={}_{0}f{}_1=\underset{¯}{\mathrm{0,04}}\\ {\left(\mathrm{1,045}\right)}^2=(\mathrm{1,04})\cdot (1+{}_{1}f{}_2)\Rightarrow {}_{1}f{}_2=\underset{¯}{\mathrm{0,05}}\\ {\left(\mathrm{1,05}\right)}^3=(\mathrm{1,04})\cdot (\mathrm{1,05})\cdot (1+{}_{2}f{}_3)\Rightarrow {}_{2}f{}_3=\underset{¯}{\mathrm{0,06}}\end{array}$

2. 
   

   

3. Statsobligasjonene i a er risikofrie. Derfor er de ettårige risikofrie rentene:

   År 1: 4 %

   År 2: 5 %

   År 3: 6 %

   De ett-årige risikojusterte rentene kan da finnes ved hjelp av KVM uten skatt:

   År 1: 4 + 5 · 0,4 = 6 %

   År 2: 5 + 5 · 0,4 = 7 %

   År 3: 6 + 5 · 0,4 = 8 %

   Nåverdien blir dermed:

   $NV=\frac{5}{\mathrm{1,06}}+\frac{7}{\mathrm{1,06}\cdot \mathrm{1,07}}+\frac{53}{\mathrm{1,06}\cdot \mathrm{1,07}\cdot \mathrm{1,08}}=\underset{¯}{\text{kr}\mathrm{54,16}}$

OPPGAVE H.5.3

1. Sum eiendeler (aktiva) = 1 255 mill. kroner

   Sum egenkapital og gjeld (passiva) = 1 110 mill. kroner

   Aktivavarighet, D_A:

   $D_A=\frac{43}{\mathrm{1\; 255}}\cdot 0+\frac{615}{\mathrm{1\; 255}}\cdot \mathrm{0,33}+\frac{345}{\mathrm{1\; 255}}\cdot \mathrm{0,75}+\frac{55}{\mathrm{1\; 255}}\cdot 5+\frac{197}{\mathrm{1\; 255}}\cdot 15=\mathrm{2,943}$

   Passivavarighet, D_P:

   $D_P=\frac{490}{\mathrm{1\; 110}}\cdot 0+\frac{370}{\mathrm{1\; 110}}\cdot \mathrm{1,5}+\frac{250}{\mathrm{1\; 110}}\cdot 10=\mathrm{2,752}$

   Lokalbank er ikke immun mot renterisiko fordi varigheten er ulik for hhv. aktiva og passiva.

   Legg her merke til at egenkapital ikke inkluderes i beregningene. Det er nettopp egenkapitalens markedsverdi som vil påvirkes av en renteendring dersom D_A og D_P er ulike som her.

2. 
   

   $D_A\cdot 1255=\mathrm{2,752}\cdot 1110\Rightarrow D_A=\underset{¯}{2434}$

OPPGAVE H.5.4

1. 
   

   

2. Her kan vi bruke uttrykk (5.4) for direkte å finne terminrenten i år 3:

   ${}_2{f}_3=\frac{{\left(1+{}_{0}r{}_3\right)}^3}{{\left(1+{}_{0}r{}_2\right)}^2}-1=\frac{{\mathrm{1,08}}^3}{{\mathrm{1,07}}^2}-1=\underset{¯}{\mathrm{0,1003}}\left(\mathrm{10,03}\%\right)$

3. For å beregne forventet avkastning mellom tidspunktene 2 og 4 (₂r₄) må vi finne terminrenten i år 4.
   I tillegg trengs terminrenten i år 3 som er beregnet i a. På tilsvarende måte regner vi ut ₃f₄ = 10,01 %. Produktet av de to terminrentene gir forventet avkastning for hele toårsperioden:

   ${\left(1+{}_{2}r{}_4\right)}^2=\left(1+{}_{2}f{}_3\right)\cdot \left(1+{}_{3}f{}_4\right)=\left(1+\mathrm{0,1003}\right)\cdot \left(1+\mathrm{0,1001}\right)=\mathrm{1,2104}$

   ${}_{2}r{}_4=\sqrt{\mathrm{1,2104}}-1=\underset{¯}{\mathrm{0,1002}}\left(\mathrm{10,02}\%\right)$

OPPGAVE H.5.5

Vi beregner effektiv rente (markedsrente) på de tre nullkupong obligasjonene ved hjelp av uttrykk (5.2). Dermed finner vi de tre spotrentene (de lange rentene), f.eks. for den toårige nullkupong obligasjonen:

1. 
   

   $\mathrm{898,45}=\frac{\mathrm{1\; 000}}{{\left(1+{}_{0}r{}_2\right)}^2}\Rightarrow {}_{0}r{}_2=\mathrm{5,5}\%$

   På tilsvarende måte finner vi de to andre spotrentene. Dermed har vi:

   ₀r₁ = 5,0 %; ₀r₂ = 5,5 %; og _or₃ = 6,0 %

   Sammenhengen mellom spot- og terminrenter er gitt ved uttrykk (5.4):

   ${}_{t-1}f{}_t=\frac{{\left(1+{}_{0}r{}_t\right)}^t}{{\left(1+{}_{0}r{}_{t-1}\right)}^{t-1}}-1$

   Vi finner f.eks. terminrenten i år 2 (mellom tidspunkt 1 og tidspunkt 2) slik:

   ${}_{t-1}f{}_t=\frac{{\left(1+{}_{0}r{}_t\right)}^2}{\left(1+{}_{0}r{}_1\right)}-1=\frac{{\left(1+\mathrm{0,055}\right)}^2}{\left(1+\mathrm{0,05}\right)}\Rightarrow {}_{1}f{}_2=\mathrm{6,0}\%$

   På tilsvarende måte bestemmes terminrenten i år 3. De tre rentene er derfor:

   ${}_{0}f{}_1={}_{0}r{}_1=\underset{¯}{\mathrm{5,0}\%;}{}_{1}f{}_2=\mathrm{6,0}\%;$ og ${}_{2}f{}_3=\underset{¯}{\mathrm{7,0}\%}$

2. Det maksimale lånet du bør være villig til å gi, er nåverdien av de tre kontantstrømselementene du er tilbudt:

   $NV=\frac{5000}{\left(1+\mathrm{0,05}\right)}+\frac{5500}{\left(1+\mathrm{0,05}\right)\cdot \left(1+\mathrm{0,06}\right)}+\frac{6000}{\left(1+\mathrm{0,05}\right)\cdot \left(1+\mathrm{0,06}\right)\cdot \left(1+\mathrm{0,07}\right)}=\underset{¯}{\text{kr}14742}$

   På rent økonomisk grunnlag bør du ikke gi vennen din dette lånet.

OPPGAVE H.5.6

1. 
   

   Beregner først konverteringsforholdet	= 1 000/50
   	= 20
   Konverteringsverdien	= 20 · 51
   	= kr 1 020

2. 
   

   $\begin{array}{lll}V& =& 60\cdot A_{8;20}^{\leftarrow }+1000\cdot R_{8;20}^{\leftarrow }\\ & =& \underset{¯}{\text{kr}804}\end{array}$

   Her er $A_{r;T}^{\leftarrow }$ nåverdien av en etterskuddsannuitet på 1 krone ved renten r over T perioder. $R_{r;T}^{\leftarrow }$ er nåverdien ved renten r av 1 krone mottatt om T perioder.

3. Nedre grense for markedsverdien av denne KO er kr 1 020. Øvre grense kan ikke bestemmes eksakt. Basert på markedsobservasjoner er likevel kr 1 100 et rimelig estimat. Konverteringsverdien og obligasjonsverdien er ikke særlig forskjellige. Derfor kan du regne med at KO vil omsettes for mer enn konverteringsverdien. Grunnen er at investor har et kursstigningspotensial ved stigende aksjekurser, mens obligasjonsverdien representerer en minsteverdi hvis aksjekursen faller.
4. 
   

   Konverteringsverdi	= 20 · 70
   	= kr 1 400

5. Et realistisk estimat er konverteringsverdien på kr 1 400. Med såpass høy konverteringsverdi er det grunn til å anta at LeMonde vil tilbakekalle lånet. Dermed vil selskapet effektivt fremtvinge konvertering. KO kan derfor neppe omsettes for mer enn konverteringsverdien.
6. Tilbakekalling til kurs 107 % tilsvarer en tilbakekallingspris på kr 1 070. Med et konverteringsforhold på 20 tilsvarer det en minste aksjepris på kr 53,50 (1 070/20).

   I praksis trengs en premie på 10–15 % utover minimumsprisen for å være sikker på at varsel om tilbakekalling fremtvinger konvertering til aksjer og ikke innløsning av KO. Dette tilsier en minstepris på ca. kr 60.

7. Generelt vet du at med et fallende rentenivå vil obligasjonsverdien øke. Den rene obligasjonsverdien av KO vil øke til:

   $\begin{array}{l}V=60\cdot A_{4;20}^{\leftarrow }+1.000\cdot R_{4;20}^{\leftarrow }\\ \text{kr}=\underset{¯}{1272}\end{array}$

OPPGAVE H.5.7

1. Konverteringsverdi	= 30 · 30
   	= kr 900

   Nominell rente for KO er lik dagens rente for rene obligasjoner med tilsvarende løpetid og risiko. Derfor må obligasjonsverdien være lik pålydende. Minimumsverdi er derfor kr 1 000.

2. Konverteringsverdien vil nå være lik 30 · 36 = kr 1 080, som er mer enn obligasjonsverdien. Minimumsverdi er derfor kr 1 080.
3. Med stigende rentenivå vil obligasjonsverdien avta. Med uforandret aksjepris er derfor minimumsverdien fortsatt kr 1 080.

OPPGAVE H.5.8

1. Bokført egenkapital:

   Innskutt egenkapital	1 597
   Opptjent egenkapital	742
   	2 339
   Bokbasert egenkapitalandel	= 2 339/3 262
   	= 0,72 (72 %)

2. Markedsverdi av gjeld er lik bokført verdi, dvs. til sammen 923 mill. (129 + 794).

   Markedsverdi av egenkapitalen er 4 855 mill. (178,49 · 27,20).

   Total markedsverdi er derfor 923 + 4 855 = 5 778 mill.

   Markedsbasert egenkapitalandel blir dermed 4 855/5 778 = 0,84 (84 %).

OPPGAVE H.5.9

1. Antall retter utstedt	= antall gamle aksjer (n)	= 500 000.
   m (antall nye aksjer)	= 20 mill./40
   	= 500 000
   N (antall retter pr. ny aksje)	= n/m
   	= 500 000/500 000
   	= 1

2. 
   

   Tn	= (50 – 40)/(1 + 1)
   	= kr 5

3. 
   

   Px	= P0 – Tn
   	= 50 – 5
   	= kr 45

4. 
   

   Formue før emisjonen	= 100 · kr 50
   	= kr 5 000

   Formue etter emisjonen:

   (i)	Selge tegningsrettene:
   	Aksjeverdi = 100 aksjer à kr 45	kr 4 500
   	Salg av 100 tegningsretter à kr 5	500
   	Sum	kr 5 00
   (ii)	Bruke tegningsrettene selv:
   	Aksjeverdi 100 gamle aksjer à kr 45	kr 4 500
   	Aksjeverdi 100 nye aksjer à kr 45	4 500
   	Kjøp av 100 nye aksjer à kr 40	– 4 000
   	Sum	kr 5 000

OPPGAVE H.5.10

1. 
   

   Konverteringsforhold	= pari verdi/konverteringspris
   	= 1 000/(50 · 1,1)
   	= 18,18

2. Aksjeemisjon: 9,9 mill./45 = 220 000 aksjer

   KO: (9,9 mill./1 000) · 18,18 = 179 982 aksjer

   Antall aksjer er forskjellig fordi konverteringsprisen er høyere enn emisjonsprisen.

3. Investor kan alltid beholde KO til forfall uten å konvertere. Verdien av KO vil derfor ikke kunne bli lavere enn den rene obligasjonsverdien. Hvis konverteringsverdien er høyere enn obligasjonsverdien, må denne konverteringsverdien være minimumsverdien av KO. Hvis ikke markedsprisen på KO var minst like stor som konverteringsverdien, kunne du kjøpe KO, konvertere til aksjer, selge aksjene og sitte igjen med et overskudd.

OPPGAVE H.5.11

1. Investors formue før emisjonen er kr 5 000 (20 aksjer à kr 250). Før spørsmålet kan besvares, må du gjøre noen beregninger av antall nye aksjer, «ex-rights pris» og verdi av tegningsrett.

   Antall nye aksjer	= 5 mill./200
   	= 25 000

   Antall retter for å tegne en ny aksje;

   N	= n/m
   	= 100 000/25 000
   	= 4
   Px	= (250 · 100 000 + 200 · 25 000)/(100 000 + 25 000)
   	= kr 240
   Tn	= (250 – 200)/(4 + 1)
   	= kr 10

   Investeringens verdi hvis tegningsrettene selges og ingen tegning foretas

   = (ny aksjeverdi) + (salg av tegningsretter)

   = 240 · 20 + 10 · 20

   = kr 5 000

2. Investeringens verdi ved tegning

   = (verdi, gamle aksjer) + (verdi, nye aksjer) – (investering)

   = 240 · 20 + 240 · 5 – 200 · 5

   = kr 5 000

3. Investeringens verdi ved verken nytegning eller salg av tegningsretter

   = 240 · 20

   = kr 4 800, dvs. et formuestap på kr 200.

OPPGAVE H.5.12

1. Ja. Aksjelovene sier at de gamle aksjene blir slettet fordi alle aksjer må ha samme pålydende.
2. Ved en aksjesplitt endres ikke beløpene i balansepostene. Det er bare aksjens pålydende og antall aksjer som endres. Her blir det en økning i antall aksjer på 33 %. Produktet av antall aksjer og pålydende er likevel uendret.
3. Med en 30 % fondsemisjon vil aksjekapitalen øke med 30 % på bekostning av opptjent egenkapital fordi innskutt egenkapital er lik aksjekapitalen (15 000 aksjer pålydende kr 30). Balansens høyreside vil derfor se slik ut etter fondsemisjonen:

   Innskutt egenkapital	585 000
   Opptjent egenkapital	1 765 000
   Total gjeld	1 650 000
   Sum egenkapital og gjeld	kr 4 000 000

4. Nei. Nye aksjer har samme pålydende som de gamle.

OPPGAVE H.5.13

1. Alle balansebeløp i mill. kroner

   	Før fondsemisjonen		Etter fondsemisjonen
   Innskutt egenkapital	100 000 à kr 100:	10	150 000 à kr 100:	15
   Opptjent egenkapital		40		35
   Egenkapital		50		50

   50 % fondsemisjon innebærer at aksjekapitalen øker med 50 %, dvs. med 5 mill. kroner. Egenkapitalfond reduseres tilsvarende. Siden pålydende ikke endres, vil antall aksjer også øke med 50 %, dvs. fra 100 000 til 150 000. Antall aksjer øker altså, men bedriftens inntjening er uendret. Derfor må markedsverdi pr. aksje avta tilsvarende, slik at total markedsverdi er som før fondsemisjonen.

   Markedsverdi før fondsemisjonen = 100 000 · 250, dvs. 25 mill. kroner.

   Aksjekurs etter fondsemisjonen = 25 mill./150 000, dvs. kr 166,67.

   Aksjonæren mottar 1 ny aksje for hver 2 gamle, dvs. han mottar 10 nye aksjer.

   Aksjenes verdi før fondsemisjonen er 250 · 20 = kr 5 000.

   Etter fondsemisjonen er investeringen verd 166,67 · 30 = kr 5 000.

   Altså samme verdi som før, så formuen er uendret.

2. For selskapet er det kontantstrømsforskjell mellom nyemisjon og fondsemisjon. Nyemisjonen vil gi en positiv kontantstrøm på 5 mill. kroner (25 000 nye aksjer à kr 200). Fondsemisjonen har ingen kontantstrømseffekt.

OPPGAVE H.5.14

Ved en aksjesplitt endres bare komponentene i aksjekapitalen, dvs. antall aksjer og pålydende pr. aksje. Med en splitt i forholdet 2:1 blir antall aksjer fordoblet og pålydende halvert. Aksjekapitalens sammensetning blir derfor nå 200 000 aksjer à kr 50, dvs. 10 mill. kroner.

Investor vil derfor sitte med dobbelt så mange aksjer som før: 40 i stedet for 20. Som i oppgave 5.20 skjer det imidlertid ingen endring av bedriftens inntjening som følge av aksjesplitten. Aksjekursen etter splitten blir derfor 25 mill./200 000, dvs. kr 125.

Investeringens verdi før aksjesplitten er 250 · 20 = kr 5 000. Etter splitten er verdien 125 · 40 = kr 5 000, Dermed uendret formue.